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FÓRMULA DE LA IDENTIDAD DE LEGENDRE. La suma del binomio suma al cuadrado con el binomio resta al cuadrado resulta dos veces la suma de cuadrados. (a+b)²+ (a–b)²=2 (a²+b²) (a+b)²– (a–b)²=4ab. Al resolver los ejercicios, aplica las fórmulas con mucho cuidado.
En el Ejemplo 4.4 encontramos que para n un entero, hay soluciones polinomiales. El primero de estos viene dado por P0(x) = c0, P1(x) = c1x, y P2(x) = c2(1 − 3x2). Como la ecuación de Legendre es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, esperamos dos soluciones linealmente independientes.
En general la serie de potencias obtenida converge cuando |x| < 1 y en el caso particular de que n sea un entero no negativo (0, 1, 2,...) las soluciones forman una familia de polinomios ortogonales llamados Polinomios de Legendre.
Definimos la función legendre_p para obtener los coeficientes de los polinomios de Legendre, utilizando la relación de recurrencia function p=legendre_p(n) p1=1; p2=[1,0]; if n==0 p=p1; %P0 elseif n==1 p=p2; %P1 else for i=2:n p=((2*(i-1)+1)*[p2,0]-(i-1)*[0,0,p1])/i; p1=p2; p2=p; end end end
30 de oct. de 2022 · La primera propiedad que tienen los polinomios de Legendre es la fórmula Rodrigues: \[P_{n}(x)=\dfrac{1}{2^{n} n !} \dfrac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{2}-1\right)^{n}, \quad n \in N_{0} . \label{7.12} \] A partir de la fórmula Rodrigues, se puede demostrar que \(P_{n}(x)\) es un polinomio de grado \(n\) th.
Todas las fórmulas, identidades algebraicas, de LEGENDRE, con ejemplos resueltos utilizando cada identidad.
Partimos de la fórmula simple. (x2 − 1) d dx(x2 − 1)n − 2nx(x2 − 1)n = 0, que se demuestra fácilmente por diferenciación explícita. Esto es entonces n + 1 tiempos diferenciados, dn+1 dxn+1 [(x2 − 1) d dx(. Así hemos demostrado que dn dxn(x2 − 1)n satisface la ecuación de Legendre.
