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Los polinomios de Legendre de orden fraccionario existen y se obtienen a partir de la Fórmula de Rodrigues empleando la derivada fraccionaria tal como se define en el cálculo fraccional y los factoriales no enteros definidos por una función gamma.
Esta ecuación diferencial ocurre naturalmente en la solución de problemas iniciales de valores límite en tres dimensiones que poseen cierta simetría esférica. Los polinomios de Legendre, o funciones de Legendre del primer tipo, son soluciones de la ecuación diferencial.
30 de oct. de 2022 · La primera propiedad que tienen los polinomios de Legendre es la fórmula Rodrigues: \[P_{n}(x)=\dfrac{1}{2^{n} n !} \dfrac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{2}-1\right)^{n}, \quad n \in N_{0} . \label{7.12} \]
Notas de Clase Ecuacion de Legendre 2.2. La ecuacion en y ’ Para la funcion Y( ;’) la ecuaci on diferencial es 1 sin( ) @ @ sin( ) @Y @ + 1 sin2( ) @2Y @’2 + ‘(‘+ 1)Y(’; ) = 0 Si efectuamos el cambio de coordenadas ˘= cos( ) tendremos que las derivadas las podemos escribir: @Y @ = sin( ) @Y @˘ @2Y @ 2 = cos( ) @Y @˘ + sin2( ) @2Y ...
De los polinomios de Legendre se pueden derivar una clase importante de funciones especiales, llamadas funciones de Legendre asociadas. La fórmula que los define es donde P n (x) es el polinomio de Legendre de orden n.
Definimos la función legendre_p para obtener los coeficientes de los polinomios de Legendre, utilizando la relación de recurrencia function p=legendre_p(n) p1=1; p2=[1,0]; if n==0 p=p1; %P0 elseif n==1 p=p2; %P1 else for i=2:n p=((2*(i-1)+1)*[p2,0]-(i-1)*[0,0,p1])/i; p1=p2; p2=p; end end end
Así hemos demostrado que \(\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n\) satisface la ecuación de Legendre. La normalización se desprende de la evaluación del coeficiente más alto, \[\frac{d^n}{dx^n} x^{2n} = \frac{2n!}{n!} x^n, \nonumber \] y así necesitamos multiplicar la derivada con \(\frac{1}{2^n n!}\) para obtener la normalizada correctamente \(P_n\).
