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Los polinomios de Legendre de orden fraccionario existen y se obtienen a partir de la Fórmula de Rodrigues empleando la derivada fraccionaria tal como se define en el cálculo fraccional y los factoriales no enteros definidos por una función gamma.
Los polinomios de Legendre, o funciones de Legendre del primer tipo, son soluciones de la ecuación diferencial \(^{1}\) Adrien-Marie Legendre ( 1752-1833 ) fue un matemático francés que hizo muchas contribuciones al análisis y álgebra.
30 de oct. de 2022 · La primera propiedad que tienen los polinomios de Legendre es la fórmula Rodrigues: \[P_{n}(x)=\dfrac{1}{2^{n} n !} \dfrac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{2}-1\right)^{n}, \quad n \in N_{0} . \label{7.12} \] A partir de la fórmula Rodrigues, se puede demostrar que \(P_{n}(x)\) es un polinomio de grado \(n\) th.
Así hemos demostrado que \(\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n\) satisface la ecuación de Legendre. La normalización se desprende de la evaluación del coeficiente más alto, \[\frac{d^n}{dx^n} x^{2n} = \frac{2n!}{n!} x^n, \nonumber \] y así necesitamos multiplicar la derivada con \(\frac{1}{2^n n!}\) para obtener la normalizada correctamente \(P_n\).
Generamos los polinomios de Legendre y comprobamos sus propiedades, etc. La función poly2sym convierte el vector de los coeficientes en un polinomio simbólico p(x). >> syms x; >> P4=poly2sym(legendre_p(4)) P4 =(35*x^4)/8 - (15*x^2)/4 + 3/8 >> P5=poly2sym(legendre_p(5)) P5 =(63*x^5)/8 - (35*x^3)/4 + (15*x)/8
De los polinomios de Legendre se pueden derivar una clase importante de funciones especiales, llamadas funciones de Legendre asociadas. La fórmula que los define es . donde P n (x) es el polinomio de Legendre de orden n. Estas funciones son de gran importancia en la física cuántica, porque aparecen en las soluciones de la ecuación de ...
Como se discutió anteriormente, los polinomios de Legendre obedecen a la relación de recurrencia de tres términos conocida como fórmula de recurrencia de Bonnet dada por ()n+1)Pn+1()x)=()2n+1)xPn()x)− − nPn− − 1()x){displaystyle (n+1)P_{n+1}(x)=(2n+1)xP_{n}(x)-nP_{n-1}(x)}
