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En general la serie de potencias obtenida converge cuando |x| < 1 y en el caso particular de que n sea un entero no negativo (0, 1, 2,...) las soluciones forman una familia de polinomios ortogonales llamados Polinomios de Legendre.
Esta ecuación diferencial ocurre naturalmente en la solución de problemas iniciales de valores límite en tres dimensiones que poseen cierta simetría esférica. Los polinomios de Legendre, o funciones de Legendre del primer tipo, son soluciones de la ecuación diferencial.
5 de mar. de 2018 · Se llama ecuación de Legendre a la ecuación diferencial ( 1 − x 2) y ′ ′ − 2 x y ′ + α ( α + 1) y = 0 ( L) con α real. Demostrar que la ecuación de Legendre se puede escribir en la forma ( ( x 2 − 1) y ′) ′ = α ( α + 1) y.
Notas de Clase Ecuacion de Legendre 2.2. La ecuacion en y ’ Para la funcion Y( ;’) la ecuaci on diferencial es 1 sin( ) @ @ sin( ) @Y @ + 1 sin2( ) @2Y @’2 + ‘(‘+ 1)Y(’; ) = 0 Si efectuamos el cambio de coordenadas ˘= cos( ) tendremos que las derivadas las podemos escribir: @Y @ = sin( ) @Y @˘ @2Y @ 2 = cos( ) @Y @˘ + sin2( ) @2Y ...
Una variedad de las funciones especiales que se encuentra en la solución de problemas físicos es la clase de funciones llamadas Polinomios de Legendre. Son la solución a una ecuación diferencial muy importante llamada ecuación de Legendre:
Los polinomios de Legendre son soluciones de esto y ecuaciones relacionadas que aparecen en el estudio de las vibraciones de una esfera sólida (armónicos esféricos) y en la solución de la Ecuación de Schrödinger para átomos similares a hidrógeno, y juegan un papel importante en la mecánica cuántica.
Así hemos demostrado que \(\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n\) satisface la ecuación de Legendre. La normalización se desprende de la evaluación del coeficiente más alto, \[\frac{d^n}{dx^n} x^{2n} = \frac{2n!}{n!} x^n, \nonumber \] y así necesitamos multiplicar la derivada con \(\frac{1}{2^n n!}\) para obtener la normalizada correctamente \(P_n\).
