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Ventajas de la diferencia entre grafo euleriano y hamiltoniano: Facilitan la identificación de caminos y circuitos: un grafo euleriano se caracteriza por tener un circuito que pasa una vez por cada arista, mientras que un grafo hamiltoniano tiene un camino que visita cada vértice una sola vez.
Tal secuencia de vértices se llama ciclo hamiltoniano. La primera gráfica se muestra en la Figura 5.16 tanto euleriana como hamiltoniana. El segundo es hamiltoniano pero no euleriano. Figura 5.16. Gráficas eulerianas y hamiltonianas. En la Figura 5.17, mostramos una famosa gráfica conocida como la gráfica Petersen. No es hamiltoniano ...
Será euleriano si tiene un número impar de vértices y cada vértice (equipo) gana exactamente tantas veces como pierda. Cada gráfico de torneo round robin tiene un camino hamiltoniano. Esto se puede probar por inducción en el número de vértices.
En un gráfico dirigido, un circuito o un camino hamiltoniano es un circuito o camino que pasa una vez y solo una vez por todos los vértices. Lo mismo ocurre con el caso no orientado. Hasta la fecha, no existen condiciones necesarias y suficientes, sino solo condiciones suficientes relativas a los grados de los vértices. Dirac 1952.
5 de mar. de 2007 · Fig. 3.15. Contrario al caso de los grafos eulerianos, para el caso de los grafos hamiltonianos no se conoce ninguna condición necesaria y suficiente que los caracterice. Esto es lamentable porque en muchas aplicaciones es fundamental poder determinar si un grafo es hamiltoniano.
Camino hamiltoniano es un camino simple que contiene todos los vértices, apareciendo cada uno de ellos exactamente una vez. Un ciclo o circuito que a su vez es un camino hamiltoniano se denomina ciclo hamiltoniano, y un grafo que contiene un ciclo hamiltoniano se denomina grafo hamiltoniano.
Vemos que gr(1) = gr(3) = gr(4) = 3 y gr(2) = 5, por lo que no puede haber un circuito Euleriano. Como se ve en el siguiente corolario tampoco puede haber un recorrido Euleriano abierto. Corolario 0.0.5. Un multigrafo conexo G admite un recorrido Euleriano abierto si y s olo si dos de sus v ertices tienen grado impar y el resto tienen grado par.
