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Raíz primitiva módulo n. Apariencia. ocultar. Dado un número natural n, decimos que a es una raíz primitiva módulo n (abreviado mod n), si a genera como grupo a , es decir, si existe tal que . Aquí denota los elementos invertibles módulo n .
En esta sección, demostramos qué enteros tienen raíces primitivas. Comenzamos mostrando que cada poder de un primo impar tiene una raíz primitiva y para ello comenzamos mostrando que cada cuadrado de un primo impar tiene una raíz primitiva.
Decimos que un entero a es una raíz de f(x) módulo m if f(a) ≡ 0(mod m). Observe que x ≡ 3(mod 11) es una raíz para f(x) = 2x2 + x + 1 desde entonces f(3) = 22 ≡ 0(mod 11). Ahora presentamos el teorema de Lagrange para primos. Este es el módulo p, el teorema fundamental del álgebra.
En esta sección, demostramos qué enteros tienen raíces primitivas. Comenzamos mostrando que cada poder de un primo impar tiene una raíz primitiva y para ello comenzamos mostrando que cada cuadrado de un primo impar tiene una raíz primitiva.
No todos los módulos poseen raíces primitivas. Los casos en que existen raíces primitivas res- pecto de un módulo m , con m >1 son, m p p = { 2,4, ,2 , α α } en donde p es primo y α ≥1.
Definición. Dados a, n ∈ Z, n > 1 y (a, n) = 1, decimos que a es una raíz primitiva módulo n si U(n) es cíclico, y a es un generador para el grupo U(n). Proposición. at ≡ 1 (mod n) ⇐⇒ ordn(a) | t. Prueba: (⇐) Sea t = q ordn(a). Como aordn(a) ≡ 1 (mod n), entonces para todo k ∈ N vale. akordn(a) ≡ 1 (mod n).
Raíces primitivas. Las raíces n -ésimas de la unidad forman con la multiplicación un grupo cíclico de orden n, y de hecho estos grupos comprenden todos los subgrupos finitos multiplicativos de los números complejos, excepto el grupo trivial {0}. Un generador de este grupo cíclico es una raíz primitiva n -ésima de la unidad.
